Bayes-Theorem (engl.: Bayes' Theorem)

Das Bayes-Theorem, auch als »Satz von Bayes« bezeichnet, beweist, wie man aus einer bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) – also der Wahrscheinlichkeit für A, sofern B vorliegt – die umgekehrte Wahrscheinlichkeit P(A|B) errechnen kann. Es wurde bereits im 18. Jahrhundert von dem englischen Pfarrer und (Amateur-)Mathematiker Thomas Bayes entwickelt und 1763 posthum veröffentlicht. Die sich auf das B. gründende Bayessche Statistik spielt in der modernen Statistik eine bedeutende Rolle. Sie hat allerdings, trotz einigen Bemühungen in diese Richtung, das dominante frequentistische Paradigma in der Statistik nicht ablösen können.

Ich formuliere hier das Bayes-Theorem für einen dichotomen Ereignisraum mit den Ereignissen A bzw. non-A; Erweiterungen auf einen größeren Ereignisraum sind ohne weiteres möglich.

Gegeben seien die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A (und damit auch für non-A, nämlich als 1 – P(A)) und der bedingten Wahrscheinlichkeiten P(B|A) (B gegeben A) sowie P(B|non-A).

Dann gilt: $P (A | B) = \frac{P (B | A) \cdot P (A)}{P (B | A) \cdot P (A) + P (B | Ā) \cdot P (Ā)}$

Zur Erläuterung sei der häufig zitierte Fall eines medizinischen Tests angeführt. Die Wahrscheinlichkeit P(B|A) ist die Sensitivität des Tests, d. h. die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Erkrankung erkannt wird (ein positives Testergebnis entsteht), wenn sie vorliegt. Die Wahrscheinlichkeit P(B|non-A) – non-A ist in der Formel durch A mit darüberliegendem Querstrich gekennzeichnet) – ist die Spezifität des Tests, d. h. die Wahrscheinlichkeit, mit der ein positives Test-Ergebnis entsteht, wenn die Krankheit nicht vorliegt. P(A) ist die Wahrscheinlichkeit, erkrankt zu sein, und P(non-A) die Wahrscheinlichkeit, nicht erkrankt zu sein.

Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit P(A|B), also die Wahrscheinlichkeit, krank zu sein, wenn ein positives Testergebnis vorliegt. Es ergibt sich nun aus obiger Formel, dass diese ganz entscheidend von P(A) – bzw. seinem Komplement P(non-A) – abhängt. Auch bei hoher Sensitivität und Spezifität (letztere ist gegeben, wenn der Test bei gesunden Personen überwiegend negativ ausfällt) kann P(A|B) niedrig sein, nämlich dann, wenn P(non-A) hoch ist.

Siehe auch: Wahrscheinlichkeit

Literatur:

Lee, Peter M.: Bayesian Statistics. An Introduction (3. Auflage). London: Hodder Arnold, 2004